Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足8S_n＝a＋4a_n＋3(n∈N^*)，且a₁，a₂，a₇依次是等比数列{b_n}的前三项．

(1)求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；

(2)是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{a_n－log_ab_n}(n∈N^*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）an＝4n－3，bn＝5n－1.（2）

【解析】(1)n＝1时，8a1＝＋4a1＋3，a1＝1或a1＝3.(2分)

当n≥2时，8Sn－1＝＋4an－1＋3，

an＝Sn－Sn－1＝(＋4an－－4an－1)，

从而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0

因为{an}各项均为正数，所以an－an－1＝4.(6分)

所以，当a1＝1时，an＝4n－3；当a1＝3时，an＝4n－1.

又因为当a1＝1时，a1，a2，a7分别为1,5,25，构成等比数列，

所以an＝4n－3，bn＝5n－1.

当a1＝3时，a1，a2，a7分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去．(11分)

(2)假设存在a，理由如下：(12分)

由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1，从而

an－lonabn＝4n－3－loga5n－1＝4n－3－(n－1)·loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5.

由题意，得4－loga5＝0，所以a＝.(16分)