Question

已知函数f(x)＝x²＋2ax＋1(a∈R)，f′(x)是f(x)的导函数．

(1)若x∈[－2，－1]，不等式f(x)≤f′(x)恒成立，求a的取值范围；

(2)解关于x的方程f(x)＝|f′(x)|； 

(3)设函数g(x)＝，求g(x)在x∈[2,4]时的最小值．

Answer

(1)a≥(2) x＝1或x＝－(1＋2a) (3)4a＋5

【解析】(1)因为f(x)≤f′(x)，所以x2－2x＋1≤2a(1－x)，

又因为－2≤x≤－1， 

所以a≥ max在x∈[－2，－1]时恒成立，因为＝≤，

所以a≥.(4分)

(2)因为f(x)＝|f′(x)|，所以x2＋2ax＋1＝2|x＋a|，

所以(x＋a)2－2|x＋a|＋1－a2＝0，则|x＋a|＝1＋a或|x＋a|＝1－a.(7分)

①当a＜－1时，|x＋a|＝1－a，所以x＝－1或x＝1－2a；

②当－1≤a≤1时，|x＋a|＝1－a或|x＋a|＝1＋a，

所以x＝±1或x＝1－2a或x＝－(1＋2a)；

③当a＞1时，|x＋a|＝1＋a，所以x＝1或x＝－(1＋2a)．(10分)

(3)因为f(x)－f′(x)＝(x－1)[x－(1－2a)]，g(x)＝

①若a≥－，则x∈[2,4]时，f(x)≥f′(x)，所以g(x)＝f′(x)＝2x＋2a，

从而g(x)的最小值为g(2)＝2a＋4；(12分)

②若a＜－，则x∈[2,4]时，f(x)＜f′(x)，所以g(x)＝f(x)＝x2＋2ax＋1，

当－2≤a＜－时，g(x)的最小值为g(2)＝4a＋5，

当－4＜a＜－2时，g(x)的最小值为g(－a)＝1－a2，

当a≤－4时，g(x)的最小值为g(4)＝8a＋17.(14分)

③若－≤a＜－，则x∈[2,4]时，

g(x)＝

当x∈[2,1－2a)时，g(x)最小值为g(2)＝4a＋5；

当x∈[1－2a,4]时，g(x)最小值为g(1－2a)＝2－2a.

因为－≤a＜－，(4a＋5)－(2－2a)＝6a＋3＜0，

所以g(x)最小值为4a＋5，

综上所述，

[g(x)]min＝(16分)