Question

某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2012年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：

P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N^*)

(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；

(2)若第x月的销售量g(x)＝

(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e⁶≈403)

Answer

（1）f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)（2）预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元

【解析】(1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39.

当x≥2时，

f(x)＝P(x)－P(x－1)＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)

＝3x(14－x)．

∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*)．(5分)

(2)设月利润为h(x)，

h(x)＝q(x)·g(x)＝

h′(x)＝ (9分)

∵当1≤x≤6时，h′(x)≥0，

当6＜x＜7时，h′(x)＜0，

∴当1≤x＜7且x∈N*时，h(x)max＝30e6≈12 090，(11分)

∵当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0，

∴当7≤x≤12且x∈N*时，h(x)max＝h(8)≈2 987.

综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元．(14分)