Question

已知函数f(x)＝－x³＋x²，g(x)＝aln x，a∈R.

(1)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x²＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范围；

(2)设F(x)＝若P是曲线y＝F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y＝F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围．

Answer

（1）(－∞，－1]（2）(－∞，0]

【解析】(1)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－ln x)a≤x2－2x..

由于x∈[1，e]，ln x≤1≤x，且等号不能同时取得，所以ln x＜x，x－ln x＞0.

从而a≤恒成立，a≤min.(4分)

设t(x)＝，x∈[1，e]．求导，得t′(x)＝.(6分)

x∈[1，e]，x－1≥0，ln x≤1，x＋2－2ln x＞0，从而t′(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数．

所以t(x)min＝t(1)＝－1，所以a的取值范围是(－∞，－1]．(8分)

(2)F(x)＝

设P(t，F(t))为曲线y＝F(x)上的任意一点．

假设曲线y＝F(x)上存在一点Q(－t，F(－t))，使∠POQ为钝角，

则＜0.(10分)

①若t≤－1，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，aln(－t))，＝－t2＋aln(－t)·(－t3＋t2)．

由于＜0恒成立，a(1－t)ln(－t)＜1.

当t＝－1时，a(1－t)ln(－t)＜1恒成立．

当t＜－1时，a＜恒成立．由于＞0，所以a≤0.(12分)

②若－1＜t＜1，且t≠0，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，t3＋t2)，则＝－t2＋(－t3＋t2)·(t3＋t2)＜0，

即t4－t2＋1＞0对－1＜t＜1，且t≠0恒成立．(14分)

③当t≥1时，同①可得a≤0.

综上所述，a的取值范围是(－∞，0]．(16分)