Question

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.

(1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；

(2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

Answer

（1）不符合公司要求（2）328

【解析】(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，按公司对函数模型的基本要求，函数y＝f(x)满足：

当x∈[10,1 000]时，

①f(x)在定义域[10,1 000]上是增函数；

②f(x)≤9恒成立；

③f(x)≤恒成立．(2分)

对于函数模型f(x)＝＋2.

当x∈[10,1 000]时，f(x)是增函数，(3分)

f(x)max＝f(1 000)＝＋2＝＋2＜9.

所以f(x)≤9恒成立．

但x＝10时，f(10)＝＋2＞，即f(x)≤不恒成立，

故该函数模型不符合公司要求．(6分)

(2)对于函数模型f(x)＝，即f(x)＝10－，

当3a＋20＞0，即a＞－时递增；(8分)

要使f(x)≤9对x∈[10,1 000]恒成立，

即f(1 000)≤9,3a＋18≥1 000，a≥；(10分)

要使f(x)≤对x∈[10,1 000]恒成立，

即≤，x2－48x＋15a≥0恒成立，所以a≥.(12分)

综上所述，a≥，所以满足条件的最小的正整数a的值为328.(14分)