Question

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为2，P与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－.设直线l过椭圆C的右焦点F，交椭圆C于两点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1)若＝ (O为坐标原点)，求|y₁－y₂|的值；

(2)当直线l与两坐标轴都不垂直时，在x轴上是否总存在点Q，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）4（2）存在Q(3,0)

【解析】(1)由椭圆的定义知a＝，设P(x，y)，

则有，则＝－，

又点P在椭圆上，则＝－，

∴b2＝2，

∴椭圆C的方程是＝1.(3分)

∵＝，

∴|cos∠AOB＝，

∴|sin∠AOB＝4，

∴S△AOB＝|sin∠AOB＝2，

又S△AOB＝|y1－y2|×1，故|y1－y2|＝4.(7分)

(2)假设存在一点Q(m,0)，使得直线QA，QB的倾斜角互为补角，

依题意可知直线l斜率存在且不为零，

直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，

由消去y得(3k2＋2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，(9分)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1·x2＝.

∵直线QA，QB的倾斜角互为补角，

∴kQA＋kQB＝0，即＝0，(13分)

又y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

代入上式可得2x1x2＋2m－(m＋1)(x1＋x2)＝0，

∴2×＋2m－(m＋1)×＝0，即2m－6＝0，∴m＝3，

∴存在Q(3,0)使得直线QA，QB的倾斜角互为补角．(16分)