Question

设数列{b_n}满足b_n＋2＝－b_n＋1－b_n(n∈N^*)，b₂＝2b₁.

(1)若b₃＝3，求b₁的值；

(2)求证数列{b_nb_n＋1b_n＋2＋n}是等差数列；

(3)设数列{T_n}满足：T_n＋1＝T_nb_n＋1(n∈N^*)，且T₁＝b₁＝－，若存在实数p，q，对任意n∈N^*都有p≤T₁＋T₂＋T₃＋…＋T_n＜q成立，试求q－p的最小值．

Answer

（1）b1＝－1（2）见解析（3）

【解析】(1)∵bn＋2＝－bn＋1－bn，

∴b3＝－b2－b1＝－3b1＝3，

∴b1＝－1；(3分)

(2)∵bn＋2＝－bn＋1－bn①，

∴bn＋3＝－bn＋2－bn＋1②，

②－①得bn＋3＝bn，(5分)

∴(bn＋1bn＋2bn＋3＋n＋1)－(bnbn＋1bn＋2＋n)＝bn＋1bn＋2(bn＋3－bn)＋1＝1为常数，

∴数列{bnbn＋1bn＋2＋n}是等差数列．(7分)

(3)∵Tn＋1＝Tn·bn＋1＝Tn－1bnbn＋1＝Tn－2bn－1bnbn＋1＝…＝b1b2b3…bn＋1

当n≥2时Tn＝b1b2b2…bn(*)，

当n＝1时，T1＝b1适合(*)式

∴Tn＝b1b2b3…bn(n∈N*)．(9分)

∵b1＝－，b2＝2b1＝－1，

b3＝－3b1＝，bn＋3＝bn，

∴T1＝b1＝－，T2＝T1b2＝，

T3＝T2b3＝，T4＝T3b4＝T3b1＝T1，

T5＝T4b5＝T2b3b4b5＝T2b1b2b3＝T2，

T6＝T5b6＝T3b4b5b6＝T3b1b2b3＝T3，

……

T3n＋1＋T3n＋2＋T3n＋3＝T3n－2b3n－1b3nb3n＋1＋

T3n－1b3nb3n＋1b3n＋2＋T3nb3n＋1b3n＋2b3n＋3

＝T3n－2b1b2b3＋T3n－1b1b2b3＋T3nb1b2b3

＝ (T3n－2＋T3n－1＋T3n)，

∴数列{T3n－2＋T3n－1＋T3n)(n∈N*)是等比数列，

首项T1＋T2＋T3＝且公比q＝，(11分)记Sn＝T1＋T2＋T3＋…＋Tn，

①当n＝3k(k∈N*)时，

Sn＝(T1＋T2＋T3)＋(T4＋T5＋T6)…＋(T3k－2＋T3k－1＋T3k)

＝，

∴≤Sn＜3；(13分)

②当n＝3k－1(k∈N*)时

Sn＝(T1＋T2＋T3)＋(T4＋T5＋T6)＋…＋(T3k－2＋T3k－1＋T3k)－T3k

＝3－(b1b2b3)k＝3－4·∴0≤Sn＜3；(14分)

③当n＝3k－2(k∈N*)时

Sn＝(T1＋T2＋T3)＋(T4＋T5＋T6)＋…＋(T3k－2＋T3k－1＋T3k)－T3k－1－T3k

＝3－(b1b2b3)k－1b1b2－(b1b2b3)k

＝3－k－1－k＝3－·k，

∴－≤Sn＜3.(15分)

综上得－≤Sn＜3则p≤－且q≥3，∴q－p的最小值为.(16分)