Question

已知无穷数列{a_n}的各项均为正整数，S_n为数列{a_n}的前n项和．

(1)若数列{a_n}是等差数列，且对任意正整数n都有S_n3＝(S_n)³成立，求数列{a_n}的通项公式；

(2)对任意正整数n，从集合{a₁，a₂，…，a_n}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a₁，a₂，…，a_n一起恰好是1至S_n全体正整数组成的集合．

(ⅰ)求a₁，a₂的值；

(ⅱ)求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）an＝1或an＝2n－1（2）a1＝1，a2＝3，an＝3n－1

【解析】(1)设无穷等差数列{an}的公差为d，因为Sn3＝(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有：

因为数列{an}的各项均为正整数，所以d≥0.

可得a1＝1，d＝0或d＝2.(4分)

当a1＝1，d＝0时，an＝1，Sn3＝(Sn)3成立；

当a1＝1，d＝2时，Sn＝n2，所以Sn3＝(Sn)3.

因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an＝1或an＝2n－1.(6分)

(2)(ⅰ)记An＝{1,2，…，Sn}，显然a1＝S1＝1.(7分)

对于S2＝a1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1,2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，|1－a2|}＝{1,2,3,4}，

故1＋a2＝4，所以a2＝3.(9分)

(ⅱ)由题意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述规则，共产生Sn个正整数．(10分)

而集合{a1，a2，…，an，an＋1}按上述规则产生的Sn＋1个正整数中，除1,2，…，Sn这Sn个正整数外，还有an－1，an＋1＋i，|an＋1－i|(i＝1,2，…，Sn)，共2Sn＋1个数．

所以，Sn＋1＝Sn＋(2Sn＋1)＝3Sn＋1.(12分)

又Sn＋1＋＝3 ，所以Sn＝·3n－1－＝·3n－.(14分)

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝·3n－－＝3n－1.(15分)

而a1＝1也满足an＝3n－1.

所以，数列{an}的通项公式是an＝3n－1.(16分)