Question

已知函数f(x)＝ax²－ln x，x∈(0，e]，其中e是自然对数的底数，a∈R.

(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间与极值；

(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）f(x)的单调增区间是，单调减区间为，极小值为＋ln 2.无极大值（2）a＝

【解析】(1)∵f(x)＝x2－ln x，f′(x)＝2x－＝，x∈(0，e]，

令f′(x)＞0，得＜x＜e，

f′(x)＜0，得0＜x＜，

∴f(x)的单调增区间是，单调减区间为.

∴f(x)的极小值为f ＝－ln ＝＋ln 2.无极大值．

(2)假设存在实数a，使f(x)＝ax2－ln x，x∈(0，e]有最小值3，

f′(x)＝2ax－＝.

①当a≤0时，x∈(0，e]，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(0，e]上单调递减，

∴f(x)min＝f(e)＝ae2－1＝3，a＝ (舍去)．

②当a＞0时，令f′(x)＝0，得x＝ ，

(ⅰ)当0＜ ＜e，即a＞时，

f(x)在上单调递减，在上单调递增，

∴f(x)min＝f＝－ln＝3，得a＝.

(ⅱ)当≥e，即0＜a≤时，x∈(0，e]时，f′(x)＜0，

所以f(x)在(0，e]上单调递减，

∴f(x)min＝f(e)＝ae2－1＝3，a＝(舍去)，此时f(x)无最小值．

综上，存在实数a＝，使得当x∈(0，e]时，f(x)有最小值3.