Question

已知数列{2^n－1·a_n}的前n项和S_n＝1－.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝，求数列的前n项和．

Answer

（1）（2）(1－n)·2n＋1－2

【解析】(1)由题意可知：Sn－1＝1－ (n≥2)，

又2n－1·an＝Sn－Sn－1，∴2n－1·an＝－.

∴an＝－＝－2－n(n≥2)．∴a1＝－.

又S1＝1－＝，∴a1≠S1，∴an＝

(2)由题意知bn＝ (n≥2)，∴＝n·2n(n≥2)．

∵＝＝2，∴＝n·2n(n≥1)．

设的前n项和为，则＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，

2＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，

∴－2＝1×2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1，

∴－＝(1－n)·2n＋1－2，∴＝(n－1)·2n＋1＋2