Question

已知点集L＝{(x，y)|y＝m·n}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列P_n(a_n，b_n)在点集L中，P₁为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{a_n}为等差数列，且公差为1，n∈N^*.

(1)求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；

(2)求·OP_n＋1的最小值；

(3)设c_n＝ (n≥2)，求c₂＋c₃＋c₄＋…＋c_n的值．

Answer

（1）bn＝2n－1(n∈N*)．（2）3.（3）

【解析】(1)由y＝m·n，

m＝(2x－2b,1)， n＝(1,1＋2b)，得y＝2x＋1，

即L的轨迹方程为y＝2x＋1.

∵P1为L的轨迹与y轴的交点，

∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1，

∵数列{an}为等差数列，且公差为1，

∴an＝n－1(n∈N*)，

代入y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)．

(2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)，

∴·OPn＋1＝(n－1,2n－1)·(n,2n＋1)

＝5n2－n－1＝52－.

∵n∈N*，

∴当n＝1时，·OPn＋1有最小值，为3.

(3)当n≥2时，由Pn(n－1,2n－1)，

得an·|PnPn＋1|＝ (n－1)，

cn＝，

∴c2＋c3＋…＋cn＝