Question

如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝.

(1)证明：PC⊥BD；

(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接PO.

因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.

由PB＝PD知，PO⊥BD.

又因为PO∩AC＝O，所以BD⊥平面APC.

又PC⊂平面APC，因此BD⊥PC.

(2)因为E是PA的中点，

所以V三棱锥P－BCE＝V三棱锥C－PEB＝ V三棱锥C－PAB＝ V三棱锥B－APC.

由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.

因为∠BAD＝60°，

所以PO＝AO＝，AC＝2 ，BO＝1.

又PA＝，所以PO2＋AO2＝PA2，所以PO⊥AC，

故S△APC＝ PO·AC＝3.

由(1)知，BO⊥平面APC，

因此V三棱锥P－BCE＝ V三棱锥B－APC＝··BO·S△APC＝.