Question

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED.

(1)求证：BD⊥平面POA；

(2)记三棱锥P－ABD的体积为V₁，四棱锥P－BDEF的体积为V₂，求当PB取得最小值时V₁∶V₂的值．

Answer

（1）见解析（2）4∶3

【解析】(1)证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO.

∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，

∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABFED，

∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD.

∵AO∩PO＝O，所以BD⊥平面POA.

(2)连接OB，设AO∩BD＝H.由(1)知，AC⊥BD.

∵∠DAB＝60°，BC＝4，∴BH＝2，CH＝2.

设OH＝x(0＜x＜2)．

由(1)知，PO⊥平面ABFED，∴PO⊥OB，即△POB为直角三角形．

∴PB2＝OB2＋PO2＝(BH2＋OH2)＋PO2，

∴PB2＝4＋x2＋(2－x)2＝2x2－4 x＋16＝2(x－)2＋10.

当x＝时，PB取得最小值，此时O为CH的中点．

∴S△CEF＝ S△BCD，

∴S梯形BFED＝S△BCD＝S△ABD，

∴V1＝ S△ABD·PO，V2＝ S梯形BFED·PO.

∴＝.

∴当PB取得最小值时，V1∶V2的值为4∶3.