Question

已知抛物线C：y²＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C与直线l₁：y＝－x的一个交点的横坐标为8.

(1)求抛物线C的方程；

(2)不过原点的直线l₂与l₁垂直，且与抛物线交于不同的两点A、B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．

Answer

（1）y2＝8x.（2）24

【解析】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴82＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.

(2)直线l2与l1垂直，

故可设l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.

由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m＞0，∴m＞－2.

y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.

由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，

∴l2：x＝y＋8，M(8,0)，

故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝|FM|·|y1－y2|＝3＝24.