Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n＝n²(n∈N^*)，等比数列{b_n}满足b₁＝a_1,2b₃＝b₄.

(1)求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)若c_n＝a_n·b_n(n∈N^*)，求数列{c_n}的前n项和T_n.

Answer

（1）bn＝2n－1(n∈N*)．（2）(2n－3)×2n＋3.

【解析】(1)∵当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，

∴an＝2n－1(n∈N*)，

∴b1＝a1＝1，设等比数列{bn}的公比为q，则q≠0.

∵2b3＝b4，∴2q2＝q3，∴q＝2，

∴bn＝2n－1(n∈N*)．

(2)由(1)可得cn＝an·bn＝(2n－1)×2n－1(n∈N*)，

∴Tn＝1×20＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，①

∴2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)×2n，②

②－①得

Tn＝(2n－1)×2n－(1×20＋2×2＋2×22＋…＋2×2n－1)

＝(2n－1)×2n－(1＋22＋23＋…＋2n)＝(2n－3)×2n＋3.