Question

已知a，b∈R，函数f(x)＝a＋ln(x＋1)的图象与g(x)＝x³－x²＋bx的图象在交点(0,0)处有公共切线．

(1)证明：不等式f(x)≤g(x)对一切x∈(－1，＋∞)恒成立；

(2)设－1＜x₁＜x₂，当x∈(x₁，x₂)时，证明：.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】(1)由题意得f′(x)＝，g′(x)＝x2－x＋b，x＞－1，

则解得

∴f(x)＝ln(x＋1)(x＞－1)，g(x)＝x3－x2＋x.

令h(x)＝f(x)－g(x)

＝ln(x＋1)－x3＋x2－x(x＞－1)，

∴h′(x)＝－x2＋x－1＝－，

∴h(x)在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，

∴h(x)≤h(0)＝0，∴f(x)≤g(x)．

(2)当x∈(x1，x2)时，由题意得－1＜x1＜x＜x2，

①设u(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x1)]－(x－x1)，

则u′(x)＝ln(x＋1)－ln(x1＋1)＞0，

∴u(x)＞u(x1)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x1)]－(x－x1)＞0，

∴；

②设v(x)＝(x＋1)[f(x)－f(x2)]－(x－x2)，

则v′(x)＝ln(x＋1)－ln(x2＋1)＜0，

∴v(x)＞v(x2)＝0，即(x＋1)[f(x)－f(x2)]－(x－x2)＞0，

∴，

由①②得.