Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，BA＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图2所示．点E、F分别为棱PC，CD的中点．

(1)求证：平面OEF∥平面APD；

(2)求证：CD⊥平面POF；

(3)在棱PC上是否存在一点M，使得M到P，O，C，F四点距离相等？请说明理由．

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）存在

【解析】(1)证明：因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC.

因为AB＝BC，所以O是AC的中点，

所以OE∥PA.

同理OF∥AD.

又OE∩OF＝O，PA∩AD＝A，

所以平面OEF∥平面PDA.

(2)证明：因为OF∥AD，AD⊥CD，

所以OF⊥CD.

又PO⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，

所以PO⊥CD.

又OF∩PO＝O，所以CD⊥平面POF.

(3)存在，事实上记点E为M即可．

因为CD⊥平面POF，PF⊂平面POF，

所以CD⊥PF.

又E为PC的中点，所以EF＝PC，

同理，在直角三角形POC中，EP＝EC＝OE＝PC，

所以点E到四个点P，O，C，F的距离相等．