Question

过椭圆Γ：＝1(a＞b＞0)右焦点F₂的直线交椭圆于A，B两点，F₁为其左焦点，已知△AF₁B的周长为8，椭圆的离心率为.

(1)求椭圆Γ的方程；

(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P，Q，且⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）＋y2＝1（2）存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足条件

【解析】(1)由已知得解得∴b2＝a2－c2＝1，

故椭圆Γ的方程为＋y2＝1.

(2)假设满足条件的圆存在，其方程为x2＋y2＝r2(0＜r＜1)．

当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋t，

由消去y整理得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则x1＋x2＝－，x1x2＝.①

∵⊥，∴x1x2＋y1y2＝0.

又y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，

∴x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0，

即(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0.②

将①代入②得＋t2＝0，

即t2＝ (1＋k2)．

∵直线PQ与圆x2＋y2＝r2相切，

∴r＝∈(0,1)，

∴存在圆x2＋y2＝满足条件．

当直线PQ的斜率不存在时，也适合x2＋y2＝.

综上所述，存在圆心在原点的圆x2＋y2＝满足条件．