Question

如图，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，点在棱上，且满足.

（1）求证：；

（2）在棱上确定一点，使、、、四点共面，并求此时的长；

（3）求几何体的体积.

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）连接，先由正方体的性质得到，以及平面，从而得到，利用直线与平面垂直的判定定理可以得到平面，于是得到；（2）假设四点、、、四点共面，利用平面与平面平行的性质定理得到，，于是得到四边形为平行四边形，从而得到的长度，再结合勾股定理得到的长度，最终得到的长度；（3）连接，由正方体的性质得到，结合（1）中的结论平面，得到

平面，然后选择以点为顶点，为高，四边形为底面的四棱锥，利用锥体的体积公式计算几何体的体积.

试题解析：（1）如下图所示，连接，

由于为正方体，所以四边形为正方形，所以，

且平面，，

，平面，

平面，；

（2）如下图所示，假设、、、四点共面，则、、、四点确定平面，

由于为正方体，所以平面平面，

平面平面，平面平面，

由平面与平面平行的判定定理得，

同理可得，因此四边形为平行四边形，，

在中，，，，

由勾股定理得，

在直角梯形中，下底，直角腰，斜腰，

由勾股定理可得，

结合图形可知，解得；

（3）如下图所示，连接交于点，

由于为正方体，，，，

所以四边形为平行四边形，，

由（1）知，平面，所以平面，平面，

由于为棱长为正方体，所以，

，

在直角梯形中，直角腰，上底，下底，

因此梯形的面积，

因此几何体的体积.

考点：1.直线与平面垂直的判定与性质；2.平面与平面平行的性质定理；3.锥体的体积的计算