Question

已知双曲线的中心为原点，左、右焦点分别为、，离心率为，点是直线上任意一点，点在双曲线上，且满足.

（1）求实数的值；

（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；

（3）若点的纵坐标为，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上去异于点、的点，满足，证明点恒在一条定直线上.

Answer

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据双曲线的离心率列方程求出实数的值；（2）设点的坐标为，点的坐标为，利用条件确定与、之间的关系，再结合点在双曲线上这一条件，以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值；（3）证法一是先设点、的坐标分别为、，结合（2）得到，，引入参数，利用转化为相应的条件，利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式，进而证明点恒在定直线上；证法二是设直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，结合韦达定理，将条件进行等价转化为，结合韦达定理化简为，最后利用点在直线上得到，从而消去得到

，进而证明点恒在定直线上.

试题解析：（1）根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为，由于，解得，

故双曲线的方程为；

（2）设点的坐标为，点的坐标为，易知点，

则，，

，因此点的坐标为，

故直线的斜率，直线的斜率为，

因此直线与直线的斜率之积为，

由于点在双曲线上，所以，所以，

于是有

（定值）；

（3）证法一：设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点、，由（2）知，，，

设，则，即，

整理得，

由①③，②④得，，

将，，代入⑥得，⑦，

将⑦代入⑤得，即点恒在定直线上；

证法二：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

由，

消去得，

因为直线与双曲线的右支交于不同的两点、，

则有，

设点，由，得，

整理得，

将②③代入上式得，

整理得，④

因为点在直线上，所以，⑤

联立④⑤消去得，所以点恒在定直线.

考点：1.双曲线的离心率；2.向量的坐标运算；3.斜率公式；4.韦达定理