Question

已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）设第个正方形的边长为，求前个正方形的面积之和.

（注：表示与的最小值.）

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式分别求出数列与的通项公式；（2）先利用作差法确定与的大小，在比较两者的大小是，一是利用数学归纳法，方法二是利用二项式定理，确定数列的通项公式（用分段数列的形式来进行表示，然后对的取值进行分类讨论，进而求出.

试题解析：（1）由于数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以，

又因为数列是以为首项，以为公比的等比数列，因此；

2）因为，，，，，，

，，，，，，

易知当时，，

下面证明当时，不等式成立.

方法1：（i）当时，，不等式显然成立，

（ii）假设当时，不等式成立，即，

则有，

这说明当时，不等式也成立，

综合（i）（ii）可知，不等式对的所有整数都成立.

所以当时，；

方法2：因为当时，

，

所以当时，，所以，

则，

当时，

，

当时，

.

综上可知，.

考点：1.等差数列与等比数列的通项公式；2.利用作差啊比较大小；3.数学归纳法；4二项式定理；5.数列求和