Question

已知函数（其中为自然对数的底数）.

（1）求函数的单调区间；

（2）定义：若函数在区间上的取值范围为，则称区间为函数的“域同区间”.试问函数在上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）先求出函数的定义域与导数，求出极值点，解有关导数的不等式，从而确定函数的单调增区间和减区间；（2）结合（1）中的结论可知，函数在区间上单调递增，根据定义得到，，问题转化为求方程在区间上的实数根，结合导数来讨论方程在区间上的实根的个数，从而确定函数在区间上是否存在“域同区间”.

试题解析：（1），定义域为，

且，

令，即，解得或；令，即，解得，

故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

（2）由（1）知，函数在区间上是单调递增函数，

假设函数在区间上存在“域同区间”，则有，，

则方程在区间上有两个相异实根，

构造新函数，定义域为，

则，

设，则，

当时，，则恒成立，

因此函数在区间上单调递增，，，

故函数在区间上存在唯一零点，则有，

当时，；当时，，

故函数在区间上是单调递减函数，在区间上是单调递增函数，

因为，，，

所以函数在区间有且只有一个零点，

这与方程有两个大于的实根相矛盾，所以假设不成立！

所以函数在区间上不存在“域同区间”.

考点：1.利用导数求函数的单调区间；2.新定义；3.函数的零点