Question

已知二次函数，关于x的不等式的解集为，其中m为非零常数.设.

(1)求a的值；

(2)如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；

(3)若m=1，且x>0，求证：

Answer

（1）（2）当时，取任何实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分

(其中, )（3）见解析

【解析】（1）【解析】
∵关于的不等式的解集为，

即不等式的解集为，

∴.

∴.

∴.

∴.

(2)解法1:由(1)得.

∴的定义域为.

∴. ………3分

方程（*）的判别式

.………4分

①当时，，方程（*）的两个实根为

………5分

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点. ………6分

②当时，由,得或，

若，则

故时，，

∴函数在上单调递增.

∴函数没有极值点.………7分

若时，

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点，有极大值点. ………8分

综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分

(其中, )

解法2:由(1)得.

∴的定义域为.

∴. ………3分

若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且

至少有一个零点在上. ………4分

令,

得, (*)

则,(**)…………5分

方程（*）的两个实根为, .

设,

①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立.

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点. ………6分

②若,则得

又由(**)解得或,

故.………7分

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点，有极大值点. ………8分

综上所述, 当时，取任何实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分

(其中, )

（3）∵， ∴.

∴

. ………10分

令，

则

.

∵，

∴…11分

12分

.………13分

∴，即. ……………14分

证法2：下面用数学归纳法证明不等式.

① 当时，左边，右边，不等式成立；

………10分

②假设当N时，不等式成立，即，

则

………11分

………12分

. ………13分

也就是说，当时，不等式也成立.

由①②可得，对N，都成立. …14分