Question

设，，其中是常数，且．

（1）求函数的极值；

（2）证明：对任意正数，存在正数，使不等式成立；

（3）设，且，证明：对任意正数都有：．

Answer

（1）当时，取极大值，但没有极小值（2）见解析（3）见解析

【解析】（1）∵， -----------------1分

由得，，

∴，即，解得，-----------------3分

故当时，；当时，；

∴当时，取极大值，但没有极小值．-----------------4分

（2）∵，

又当时，令，则，

故，

因此原不等式化为，即， -----------------6分

令，则，

由得：，解得，

当时，；当时，．

故当时，取最小值，-----------------8分

令，则．

故，即．

因此，存在正数，使原不等式成立．-----------------10分

（3）对任意正数，存在实数使，，

则，，

原不等式，

-----------------14分

由（1）恒成立，

故，

取，

即得，

即，故所证不等式成立． -----------------14分