Question

已知函数

（I)若，是否存在a，bR，y＝f（x）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；

〔II）若a＝2，b＝1．求函数在R上的单调区间；

（III )对于给定的实数成立．求a的取值范围．

Answer

（I) 存在使为偶函数〔II）的增区间为，减区间为。（III ) 时，；当时，

【解析】（Ⅰ）存在使为偶函数，………………（2分）

证明如下：此时：，

，为偶函数。………………（4分）

（注：也可以）

（Ⅱ）=，………………（5分）

①当时，

在上为增函数。………………（6分）

②当时，

则，令得到，

（ⅰ）当时，在上为减函数。

（ⅱ） 当时，在上为增函数。………………（8分）

综上所述：的增区间为，减区间为。………………（9分）

（Ⅲ），

，成立。

即：…………………………………………………（10分）

①当时，为增函数或常数函数，当时

恒成立。

综上所述：……………………………………………（12分）

②当时，在[0，1]上为减函数，

恒成立。

综上所述：……………………………………………（13分）

由①②得当时，；

当时，.……………………………………………（14分）