Question

已知函数，，函数的图象在点处的切线平行于轴．

（1）确定与的关系；

（2）试讨论函数的单调性；

（3）证明：对任意，都有成立。

Answer

（1）（2）当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；当时，函数在上单调递增，当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增（3）见解析

【解析】（1）依题意得，则

由函数的图象在点处的切线平行于轴得：

∴-------------------------------------3分

（2）由（1）得----------4分

∵函数的定义域为

∴当时，在上恒成立，

由得，由得，

即函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；----------------5分

当时，令得或，

若，即时，由得或，由得，

即函数在，上单调递增，在单调递减；---------6分

若，即时，由得或，由得，

即函数在，上单调递增，在单调递减；------------7分

若，即时，在上恒有，

即函数在上单调递增， -----------------8分

综上得：当时，函数在(0,1)上单调递增，在单调递减；

当时，函数在单调递增，在单调递减；在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，

当时，函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．

（3）证法一：由（2）知当时，函数在单调递增，，即，------------11分

令，则，-------------------------------------12分

即--------14分

证法二：构造数列，使其前项和，

则当时，，-------11分

显然也满足该式，

故只需证-------------------12分

令，即证，记，

则，

在上单调递增，故，

∴成立，

即． -14分