Question

已知函数 , .

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅲ）当时，函数在上的最大值为，若存在，使得成立，求实数b的取值范围.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）当时，递增区间为，，递减区间为

当时，函数的递增区间为，递减区间为

【解析】（Ⅰ）当时，……………………1分

…………………………………….…2分

所以曲线在点处的切线方程…………………………….…3分

（Ⅱ）………4分

当时，

解，得，解，得

所以函数的递增区间为，递减区间为在 ………………………5分

x

f’(x)

+

-

+

f(x)

增

减

增

时，令得或

当时，

函数的递增区间为，，递减区间为……………………7分

当时， 在上，在上 8分

函数的递增区间为，递减区间为………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，在上是增函数，在上是减函数，

所以， ……………………………11分

存在，使即存在，使，

方法一：只需函数在[1，2]上的最大值大于等于

所以有即解得：…13分

方法二：将

整理得从而有

所以的取值范围是.………13分