Question

设，函数．

（1）若，求函数在区间上的最大值；

（2）若，写出函数的单调区间（不必证明）；

（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．

Answer

（1）9（2）单调递增区间是和，单调递减区间是（3）

【解析】（1）当，时，

作函数图像（图像略），可知函数在区间上是增函数，所以的最大值为．…………（4分）

（2）……（1分）

①当时，，

因为，所以，

所以在上单调递增．…………（3分）

②当时，，

因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减．…………（5分）

综上，函数的单调递增区间是和，

单调递减区间是．………………（6分）

（3）①当时，，，所以在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）

②当时，由（1）知在和上分别是增函数，在上是减函数，当且仅当时，方程有三个不相等的实数解．

即．…………（5分）

令，在时是增函数，故．…………（7分）

所以，实数的取值范围是．…………（8分）