Question

已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）单调递增区间为和，

单调递减区间为（Ⅲ）

【解析】函数的定义域为，．………1分

（Ⅰ）当时，函数，，．

所以曲线在点处的切线方程为，

即．………………………3分

（Ⅱ）函数的定义域为．

（1）当时，在上恒成立，

则在上恒成立，此时在上单调递减． ……………4分

（2）当时，，

（ⅰ）若，

由，即，得或； ………………5分

由，即，得．………………………6分

所以函数的单调递增区间为和，

单调递减区间为． ……………………………………7分

（ⅱ）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增． ………………………………………………………………8分

（Ⅲ））因为存在一个使得，

则，等价于.…………………………………………………9分

令，等价于“当 时，”.

对求导，得.……………………………………………10分

因为当时，，所以在上单调递增. ……………12分

所以，因此. …………………………………………13分

另【解析】
设，定义域为，

.

依题意，至少存在一个，使得成立，

等价于当 时，. ………………………………………9分

（1）当时，

在恒成立，所以在单调递减，只要，

则不满足题意.…… 10分

（2）当时，令得.

（ⅰ）当，即时，

在上，所以在上单调递增，

所以，由得，，所以.………11分

（ⅱ）当，即时，

在上，所以在单调递减，

所以，由得.………………12分

（ⅲ）当，即时， 在上，在上，

所以在单调递减，在单调递增，

，等价于或，解得，所以，.

综上所述，实数的取值范围为.………………………………………13分