Question

已知函数，，其中．

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若存在区间，使和在区间上具有相同的单调性，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）极小值为；没有极大值（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）【解析】
的定义域为，………………1分

且 ． ………………2分

① 当时，，故在上单调递减．

从而没有极大值，也没有极小值． ………………3分

② 当时，令，得．

和的情况如下：

↘

↗

故的单调减区间为；单调增区间为．

从而的极小值为；没有极大值．………………5分

（Ⅱ）【解析】
的定义域为，且 ．………………6分

③ 当时，显然 ，从而在上单调递增．

由（Ⅰ）得，此时在上单调递增，符合题意． ………………8分

④ 当时，在上单调递增，在上单调递减，不合题意．……9分

⑤ 当时，令，得．和的情况如下表：

↘

↗

当时，，此时在上单调递增，由于在上单调递减，不合题意． ………………11分

当时，，此时在上单调递减，由于在上单调递减，符合题意．

综上，的取值范围是． ………………13