Question

在平面直角坐标系xOy中,曲线C₁的参数方程为(φ为参数),曲线C₂的参数方程为(a>b>0,φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l:θ=α与C₁,C₂各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=时,这两个交点重合.

(1)分别说明C₁,C₂是什么曲线,并求出a与b的值.

(2)设当α=时,l与C₁,C₂的交点分别为A₁,B₁,当α=-时,l与C₁,C₂的交点为A₂,B₂,求四边形A₁A₂B₂B₁的面积.

Answer

(1) C1是圆,C2是椭圆. a=3 b=1 (2)

【解析】(1)C1是圆,C2是椭圆.

当α=0时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(1,0),(a,0),因为这两点间的距离为2,a>0,所以a=3.当α=时,射线l与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0,b),因为这两点重合,所以b=1.

(2) C1,C2的普通方程分别为x2+y2=1和+y2=1.

当α=时,射线l与C1交点A1的横坐标为x=,与C2交点B1的横坐标为x'=.

当α=-时,射线l与C1,C2的两个交点A2,B2分别与A1,B1关于x轴对称,因此,四边形A1A2B2B1为梯形.

故四边形A1A2B2B1的面积为=.