Question

已知矩阵M=,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P'(-4,0),

(1)求实数a的值.

(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.

Answer

(1)3 (2) 矩阵M的属于特征值4的特征向量为(t≠0)

【解析】(1)由=,得2-2a=-4⇒a=3.

(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为

(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4.

令λ2-3λ-4=0,得矩阵M的特征值为-1或4.

当λ=-1时,⇒x+y=0,

∴(x,y)=(t,- t),当t≠0时,

矩阵M的属于特征值-1的特征向量为(t≠0);

当λ=4时,⇒2x-3y=0,

∴矩阵M的属于特征值4的特征向量为(t≠0).