Question

若矩阵A有特征值λ₁=2,λ₂=-1,它们所对应的特征向量分别为e₁=和e₂=.

(1)求矩阵A.

(2)求曲线x²+y²=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程.

Answer

(1) A= (2) +y2=1

【解析】(1)设A=,由Ae1=λ1e1,Ae2=λ2e2得

=2=,

=-1×=,

∴∴A=.

(2)设曲线x2+y2=1上任意一点(x,y)在矩阵A对应的变换作用下得到的点为(x',y'),

则=,即

所以从而(x')2+(-y')2=1,

即+y'2=1,

∴所求新曲线方程为+y2=1.