Question

已知奇函数f(x)是定义在R上的增函数,数列{x_n}是一个公差为2的等差数列,且满足f(x₈)+f(x₉)+f(x₁₀)+f(x₁₁)=0,则x₂₀₁₂的值为　　　　.

Answer

4005

【解析】设x8=a,则x9=a+2,x10=a+4,x11=a+6,

所以f(a)+f(a+2)+f(a+4)+f(a+6)=0,且f(a)0.

结合奇函数关于原点的对称性可知,f(a)+f(a+6)=0,f(a+2)+f(a+4)=0,

所以f(a+3)=0=f(0),即a+3=0,所以x8=-3.

设数列{xn}通项xn=x1+2(n-1),所以x8=x1+14=-3,所以x1=-17.

故通项xn=2n-19.所以x2012=2×2012-19=4005.