Question

数列{a_n}满足a₁=1,a_n+1=(n²+n-λ)a_n(n=1,2,…),λ是常数.

(1)当a₂=-1时,求λ及a₃的值.

(2)数列{a_n}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,说明理由.

Answer

(1) λ=3 a3=-3. (2) 不可能，理由见解析

【解析】(1)由于an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),

且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,

故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.

(2)数列{an}不可能为等差数列,理由如下:

由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得

a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),

a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).

若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,

即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.

于是a2-a1=1-λ=-2,

a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.

这与{an}为等差数列矛盾.

所以,对任意λ,{an}都不可能是等差数列.