Question

若集合A₁,A₂,…,A_n满足A₁∪A₂∪…∪A_n=A,则称A₁,A₂,…,A_n为集合A的一种拆分.已知:

①当A₁∪A₂={a₁,a₂,a₃}时,有3³种拆分;

②当A₁∪A₂∪A₃={a₁,a₂,a₃,a₄}时,有7⁴种拆分;

③当A₁∪A₂∪A₃∪A₄={a₁,a₂,a₃,a₄,a₅}时,有15⁵种拆分;

……

由以上结论,推测出一般结论:

当A₁∪A₂∪…∪A_n={a₁,a₂,a₃,…,a_n+1}时,有　　　　种拆分.

Answer

(2n-1)n+1

【解析】因为当有两个集合时,

33=(4-1)2+1=(22-1)2+1;当有三个集合时,74=(8-1)3+1=(23-1)3+1;当有四个集合时,155=(16-1)4+1=(24-1)4+1;由此可以归纳当有n个集合时,有(2n-1)n+1种拆分.