Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮,现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图形包含f(n)个小正方形.

(1)求出f(5).

(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系式,并根据你得到的关系式求f(n)的关系式.

Answer

(1)41 (2) f(n)=2n2-2n+1

【解析】(1)∵f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25,

∴f(5)=25+4×4=41.

(2)由f(2)-f(1)=4=4×1.

f(3)-f(2)=8=4×2,

f(4)-f(3)=12=4×3,

f(5)-f(4)=16=4×4,

…

得f(n+1)-f(n)=4n.

∴f(2)-f(1)=4×1,

f(3)-f(2)=4×2,

f(4)-f(3)=4×3,

…

f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2),

f(n)-f(n-1)=4·(n-1)

∴f(n)-f(1)=4[1+2+…+(n-2)+(n-1)]

=2n(n-1),

∴f(n)=2n2-2n+1.