Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n,已知a₁=1,S_n+1=2S_n+n+1(n∈N^*),则数列{a_n}的通项公式a_n=　　　.

Answer

2n-1

【解析】∵Sn+1=2Sn+n+1,当n≥2时Sn=2Sn-1+n,

两式相减得:an+1=2an+1,

∴an+1+1=2(an+1),

即=2.

又S2=2S1+1+1,a1=S1=1,

∴a2=3,∴=2,

∴{an+1}是首项为2,公比为2的等比数列,

∴an+1=2n即an=2n-1(n∈N*).

【方法技巧】含Sn,an问题的求解策略

当已知含有Sn+1,Sn之间的等式时,或者含有Sn,an的混合关系的等式时,可以采用降级角标或者升级角标的方法再得出一个等式,两个等式相减就把问题转化为数列的通项之间的递推关系式.