Question

已知数列{a_n}是等差数列,a₂=6,a₅=12,数列{b_n}的前n项和是S_n,且S_n+b_n=1.

(1)求数列{a_n}的通项公式.

(2)求证:数列{b_n}是等比数列.

(3)记c_n=,{c_n}的前n项和为T_n,若T_n<对一切n∈N^*都成立,求最小正整数m.

Answer

(1) an=2n+2 (2)见解析 (3) 2012

【解析】(1)设{an}的公差为d,则a2=a1+d,a5=a1+4d.

∵a2=6,a5=12,∴

解得:a1=4,d=2.∴an=4+2(n-1)=2n+2.

(2)当n=1时,b1=S1,由S1+b1=1,得b1=.

当n≥2时,∵Sn=1-bn,Sn-1=1-bn-1,

∴Sn-Sn-1=(bn-1-bn),即bn=(bn-1-bn).

∴bn=bn-1.

∴{bn}是以为首项,为公比的等比数列.

(3)由(2)可知:bn=·()n-1=2·()n.

∴cn====-,

∴Tn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-<1,

由已知得≥1,∴m≥2012,

∴最小正整数m=2012.