Question

在等差数列{a_n}中,a₁=3,其前n项和为S_n,等比数列{b_n}的各项均为正数,b₁=1,公比为q,且b₂+S₂=12,q=.

(1)求a_n与b_n.

(2)证明:≤++…+<.

Answer

(1) an=3n,bn=3n-1 (2)见解析

【解析】(1)设{an}的公差为d,

因为所以

解得q=3或q=-4(舍),d=3.

故an=3+3(n-1)=3n,bn=3n-1.

(2)因为Sn=,

所以== (-).

故++…+

=[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]

=(1-).

因为n≥1,所以0<≤,于是≤1-<1,

所以≤(1-)<.

即≤++…+<.