Question

甲、乙两人用农药治虫,由于计算错误,在A,B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克,实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的,现在只有两个能容纳1千克药水的药瓶,他们从A,B两个喷雾器中分别取1千克的药水,将A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A中,这样操作进行了n次后,A喷雾器中药水的浓度为a_n%,B喷雾器中药水的浓度为b_n%.

(1)证明a_n+b_n是一个常数.

(2)求a_n与a_n-1的关系式.

(3)求a_n的表达式.

Answer

(1)见解析 (2) an=an-1+ (3) an=3()n+9

【解析】【思路点拨】(1)显然不论如何操作,两种农药中含有的溶质是不变的,这是问题的实际应用.(2)建立第n-1次操作后两种药水的浓度和第n次操作后A喷雾器中药水浓度的关系式.(3)利用(1)(2)的结果求解递推数列.

【解析】
(1)开始时,A中含有10×12%=1.2千克的农药,B中含有10×6%=0.6千克的农药,n次操作后,A中含有10×an%=0.1an千克的农药,B中含有10×bn%=0.1bn千克的农药,它们的和应与开始时农药的质量和相等,从而有0.1an+0.1bn=1.2+0.6,所以an+bn=18(常数).

(2)第n次操作后,A中10千克药水中农药的质量具有关系式:9×an-1+1×bn-1=10an,

由(1)知bn-1=18-an-1,代入化简得an=an-1+.

(3)令an+λ=(an-1+λ),利用待定系数法可求出

λ=-9,

所以an-9=(an-1-9),可知数列{an-9}是以a1-9为首项,为公比的等比数列,

由an=an-1+得,a1=×12+==11.4,

由等比数列的通项公式知:

an-9=(a1-9)()n-1=2.4()n-1=()n-1

=3()n,

所以an=3()n+9.