Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n,a₁=1,a_n+1=2S_n+1(n≥1,n∈N^*),则数列{a_n}的通项公式是_______.

Answer

an=3n-1

【解析】【思路点拨】根据an和Sn的关系转换an+1=2Sn+1(n≥1)为an+1与an的关系或者Sn+1与Sn的关系.

解:方法一:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2).

又a2=2S1+1=3,

∴a2=3a1,故{an}是首项为1,公比为3的等比数列,

∴an=3n-1.

方法二:由于an+1=Sn+1-Sn,

an+1=2Sn+1,

所以Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,

把这个关系化为Sn+1+=3(Sn+),

即得数列{Sn+}为首项是S1+=,

公比是3的等比数列,故Sn+=×3n-1=×3n,

故Sn=×3n-.

所以,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,

由n=1时a1=1也适合这个公式,知所求的数列{an}的通项公式是an=3n-1.

【方法技巧】an和Sn关系的应用技巧

在根据数列的通项an与前n项和的关系求解数列的通项公式时,要考虑两个方面,一个是根据Sn+1-Sn=an+1把数列中的和转化为数列的通项之间的关系;一个是根据an+1=Sn+1-Sn把数列中的通项转化为前n项和的关系,先求Sn再求an.