Question

已知二次函数f(x)=px²+qx(p≠0),其导函数为f'(x)=6x-2,数列{a_n}的前n项和为S_n,点(n,S_n)(n∈N^*)均在函数y=f(x)的图象上.

(1)求数列{a_n}的通项公式.

(2)若c_n=(a_n+2),2b₁+2²b₂+2³b₃+…+2ⁿb_n=c_n,求数列{b_n}的通项公式.

Answer

(1) an=6n-5 (2) bn=

【解析】【思路点拨】(1)根据二次函数的导函数为f'(x)=6x-2,可求f(x)=3x2-2x,所以Sn=3n2-2n.由Sn可求an.

(2)根据an求cn,求出cn代入2b1+22b2+23b3+…+2nbn=cn中可求出bn,注意n=1与n≥2的讨论.

【解析】
(1)已知二次函数f(x)=px2+qx(p≠0),

则f'(x)=2px+q=6x-2,故p=3,q=-2,

所以f(x)=3x2-2x.

点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,

则Sn=3n2-2n,当n=1时,a1=S1=1;

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n-5,

故数列{an}的通项公式:an=6n-5.

(2)由(1)得,cn=(an+2)=2n-1,

2b1+22b2+23b3+…+2nbn=2n-1,

当n=1时,b1=,

当n≥2时,2b1+22b2+23b3+…+2n-1bn-1+2nbn

=2n-1,

2b1+22b2+23b3+…+2n-1bn-1=2(n-1)-1,

两式相减得:bn==21-n,

故数列{bn}的通项公式:bn=