Question

若向量m=(sinωx,0),n=(cosωx,-sinωx)(ω>0),在函数f(x)=

m·(m+n)+t的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为,且当x∈[0,]时,f(x)的最大值为1.

(1)求函数f(x)的解析式.

(2)求函数f(x)的单调递增区间.

Answer

(1) f(x)=sin(2x-)- (2) [kπ-,kπ+π](k∈Z)

【解析】(1)由题意得f(x)=m·(m+n)+t=m2+m·n+t

=3sin2ωx+sinωx·cosωx+t

=-cos2ωx+sin2ωx+t

=sin(2ωx-)++t.

∵对称中心到对称轴的最小距离为,

∴f(x)的最小正周期为T=π.

∴=π,∴ω=1.

∴f(x)=sin(2x-)++t,

当x∈[0,]时,2x-∈[-,],

∴当2x-=,

即x=时,f(x)取得最大值3+t.

∵当x∈[0,]时,f(x)max=1,

∴3+t=1,∴t=-2,

∴f(x)=sin(2x-)-.

(2)由(1)知f(x)=sin(2x-)-.

2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,

2kπ-≤2x≤2kπ+π,kπ-≤x≤kπ+π,

∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+π](k∈Z).