Question

已知关于x的方程:x²-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b.

(1)求实数a,b的值.

(2)若复数满足|-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的最小值.

Answer

(1)a=b=3 (1)

【解析】【思路点拨】(1)把b代入方程,根据复数的实部、虚部等于0解题即可.

(2)设z=s+ti(s,t∈R),根据所给条件可得s,t间的关系,进而得到复数z对应的轨迹,根据轨迹解决|z|的最值问题.

【解析】
(1)∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,

∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,

∴解得a=b=3.

(2)设z=s+ti(s,t∈R),其对应点为Z(s,t),

由|-3-3i|=2|z|,

得(s-3)2+(t+3)2=4(s2+t2),

即(s+1)2+(t-1)2=8,

∴Z点的轨迹是以O1(-1,1)为圆心,2为半径的圆,如图所示,

当Z点在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值.

∵|OO1|=,半径r=2,

∴当z=1-i时,|z|有最小值且|z|min=.