Question

已知函数f(x)=sinωx·sin(-φ)-sin(+ωx)sin(π+φ)是R上的偶函数.其中ω>0,0≤φ≤π,其图象关于点M(,0)对称,且在区间[0,]上是单调函数,求φ和ω的值.

Answer

ω=或ω=2

【解析】由已知得f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ

=sin(ωx+φ),

∵f(x)是偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z.

又∵0≤φ≤π,∴φ=.

∴f(x)=sin(ωx+)=cosωx.

又f(x)关于(,0)对称,

故ω=kπ+,k∈Z.

即ω=+,k∈Z.

又ω>0,故k=0,1,2,…

当k=0时,ω=,f(x)=cosx在[0,]上是减函数.

当k=1时,ω=2,f(x)=cos2x在[0,]上是减函数.

当k=2时,ω=,f(x)=cosx在[0,]上不是单调函数,

当k>2时,同理可得f(x)在[0,]上不是单调函数,

综上,ω=或ω=2.