Question

函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示.

(1)求f(x)的最小正周期及解析式.

(2)设g(x)=f(x)-cos2x,求函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.

Answer

(1) f(x)=sin(2x+)

(2) 当2x-=,即x=时,g(x)取最大值为1;

当2x-=-,即x=0时,g(x)取最小值为-.

【解析】【思路点拨】(1)由图象及题设中的限制条件可求A,ω,φ.

(2)将f(x)代入g(x)整理化简为一个三角函数,再由x的范围求最值即可.

【解析】
(1)由图可得A=1,=-=,所以T=π,所以ω=2.

当x=时,f(x)=1,

可得sin(2×+φ)=1,

因为|φ|<,所以φ=.

所以f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+).

(2)g(x)=f(x)-cos2x

=sin(2x+)-cos2x

=sin2xcos+cos2xsin-cos2x

=sin2x-cos2x

=sin(2x-).

因为0≤x≤,所以-≤2x-≤.

当2x-=,即x=时,g(x)取最大值为1;

当2x-=-,即x=0时,g(x)取最小值为-.

【方法技巧】由图象求解析式和性质的方法和技巧

(1)给出图象求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的难点在于ω,φ的确定,本质为待定系数,基本方法是①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式;②图象变换法,即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到,通常可由平衡点或最值点确定周期T,进而确定ω.

(2)由图象求性质的时候,首先确定解析式,再根据解析式求其性质,要紧扣基本三角函数的性质.例如,单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点.