Question

如图,函数f(x)=x+的定义域为(0,+∞).设点P是函数图象上任一点,过点P分别作直线y=x和y轴的垂线,垂足分别为M,N.

(1)证明:|PM|·|PN|为定值.

(2)O为坐标原点,求四边形OMPN面积的最小值.

Answer

(1)见解析 (2) +1

【解析】(1)设P(x0,x0+)(x0>0).

则|PN|=x0,|PM|==,

因此|PM|·|PN|=1.

(2)连接OP,直线PM的方程为

y-x0-=-(x-x0),即y=-x+2x0+.

解方程组

得x=y=x0+,所以|OM|=x0+.

S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM

=|PN|·|ON|+|PM|·|OM|

=x0(x0+)+(x0+)

=+(+)

≥+1,

当且仅当x0=,即x0=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为+1.