Question

设椭圆方程为x²+=1,过点M(0,1)的直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点,点P满足=(+),当l绕点M旋转时,动点P的轨迹方程为　　　　　.

Answer

4x2+y2-y=0

【解析】【思路点拨】设直线l的斜率为k,用参数法求解,但需验证斜率不存在时是否符合要求.

直线l过点M(0,1),当斜率存在时,设其斜率为k,则l的方程为y=kx+1.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

由题设可得点A,B的坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组的解,

将①代入②并化简得(4+k2)x2+2kx-3=0,

所以

于是=(+)=(,)

=(,).

设点P的坐标为(x,y),则消去参数k得4x2+y2-y=0, ③

当斜率不存在时,A,B中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.

【方法技巧】利用参数法求轨迹方程的技巧

参数法是求轨迹方程的一种重要方法,其关键在于选择恰当的参数.一般来说,选参数时要注意:

①动点的变化是随着参数的变化而变化的,即参数要能真正反映动点的变化特征;②参数要与题设的已知量有着密切的联系;③参数要便于轨迹条件中的各种相关量的计算,也要便于消去.常见的参数有角度、斜率、点的横坐标、纵坐标等.