Question

已知椭圆的中心为坐标原点,短轴长为2,一条准线的方程为l:x=2.

(1)求椭圆的标准方程.

(2)设O为坐标原点,F是椭圆的右焦点,点M是直线l上的动点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值.

Answer

(1) +y2=1 (2)见解析

【解析】(1)∵椭圆C的短轴长为2,椭圆C的一条准线为l:x=2,

∴不妨设椭圆C的方程为+y2=1.

∴==2,即c=1.

∴椭圆C的方程为+y2=1.

(2)F(1,0),右准线为l:x=2.设N(x0,y0),

则直线FN的斜率为kFN=,直线ON的斜率为kON=.

∵FN⊥OM,∴直线OM的斜率为kOM=-.

∴直线OM的方程为y=-x,

点M的坐标为M(2,-).

∴直线MN的斜率为kMN=.

∵MN⊥ON,∴kMNkON=-1.

∴·=-1.

∴+2(x0-1)+x0(x0-2)=0,即+=2.

∴ON=为定值.